Знайдіть координати центра та радіус кола x 2 + y 2 – 8x + 8y + 7= 0.
Вибрані задачі
Задача 1.
Пряма х + 2у =10 перетинає коло = 40. Знайти
точки перетину прямої з колом та довжину хорди,
утвореної в результаті перетину.
Щоб знайти точки перетину прямої з колом,
потрібно розв’язати систему рівнянь:
Виразимо змінну х через у із першого рівняння, підставимо в друге і
виконаємо спрощення другого рівняння.
Маємо , звідси = 1, = 5, відповідно = 8, = 0. Отже, точки перетину
кола із прямою А(0;5) і В(8;1). Відстань між цими точками і буде
довжиною шуканої хорди (рис 14).
d =, d = одиниць.
Відповідь: (8;1) і (0;5), одиниць
Три вершини паралелограма АВСD знаходяться в точках А(7;-1),
В(1;-9), D(15;5). Знайдіть координати вершини С та доведіть, що АВСD
Знайдемо координати точки перетину діагоналей паралелограма, за їх
властивістю вона є серединою діагоналей. Позначимо її N(рис.15). За
формулою координати середини відрізка:
, , N (8; –2), тоді координати вершини С будуть:
у = 2(–2) – (–1) = –3, С (9; –3).
Щоб довести, що даний паралелограм є ромб, досить знайти довжини
сусідніх сторін. Якщо вони рівні, то паралелограм буде ромбом.
АВ = = =10 одиниць,
АD = =10 одиниць.
Отже АВСD ромб, те що й треба було довести .
Точки А(1;5) і В (7; 3) належать колу з центром в точці N. Пряма х –
2у + 9 = 0 дотична до кола в точці А. Знайдіть координати центра кола.
Нехай АС дотична кола з центром в точці N, тоді за властивістю
дотичної NA AC, АВ хорда, D середина хорди, то ND ⊥ АВ (рис.16).
Згідно з умовою перпендикулярності прямих АС і АN є де кутові
коефіцієнти прямих АС і АN відповідно. АС має рівняння у = , тоді , .
Запишемо рівняння прямої АN: у = із коефіцієнтом , яка проходить
через точку А(1;5) , у = (х – 1) + 5, тоді у =. + 7 буде рівнянням прямої
Аналогічно знайдемо рівняння прямої DN: у = , (х;у) координати
точки D. Оскільки D середина хорди АВ, то, за формулою координати
середини відрізка, маємо
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої, яка містить хорду АВ.
= = , тоді , l =8, одержуємо рівняння прямої DN: у = 3х 8 . Рис.17
Знайдемо координати точки N , розв’язавши систему рівнянь , х = 3, у =
Отже, точка N( 3;1) буде центром кола.
Відповідь: N( 3;1)
Немає коментарів:
Дописати коментар